数学最高奖首位华人得主丘成桐:人类生活在十维宇宙里

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  “人类生活在十维的宇宙中。”

  这可不是什么《三体》看上头后的狂言,而是出自丘成桐之口。

  这位数学最高奖——菲尔兹奖首位华人得主,曾在公开演讲中谈到:

  人类生活在十维的宇宙中,但只有四维时空可见,剩下的六维空间蜷缩在一个几何结构特异的空间中。

  没想到,这个看上去玄乎又难以理解的概念,会被世界级数学家肯定。

  但实际上,弦论的支持者们始终认为平行宇宙必定具有十个维度,并一直力求证明其存在。

  对,就是Sheldon痴迷的那个弦论。

  而更让人意想不到的是,正是丘成桐27岁时的成名之作,成为了弦论学者笃信十维空间的关键论据之一。

  1985年,物理学家坎德拉斯、霍洛维茨等人合著论文《超弦的真空结构》指出,多出来的六个维度,必须隐藏于卡拉比-丘流形之中。

  隐藏六维的空间

  事情还要从爱因斯坦的广义相对论说起。

  基于黎曼几何这种包含弯曲空间的几何学,爱因斯坦成功把重力理论和狭义相对论统一了起来,完成了著名的广义相对论。

  也就是说,广义相对论这颗明星,正是几何学和物理学的一个闪亮交点。

  爱因斯坦本人就这样解释道:

  这套理论指出重力场由物质的分布决定,并随之而演化,正如黎曼所猜测的那样,空间并不是绝对的,它的结构与物理不能分割。我们宇宙的几何绝不像欧氏几何那样孤立自足。

  这颗明星,自然而然吸引了专注于几何学的青年丘成桐的注意。

  上世纪70年代,在研究爱因斯坦方程组时,丘成桐开始思考一个问题:

  能否找到一个真空,即没有物质的时空,但其曲率并不平凡,即其重力非零。

  并且这个时空光滑不带奇点,是紧致而封闭的。

  其实,这就是几何学家卡拉比在1954年提出的卡拉比猜想:在封闭的空间,有无可能存在没有物质分布的引力场?

  卡拉比猜想不仅指出封闭而具有重力的真空存在,而且还给出了系统地大量构造这类空间的途径。

  但在这一猜想提出的22年间,包括卡拉比自己在内,没有人能够证明它是否正确。

  直到1976年,时年27岁的丘成桐一举实现突破,证明卡拉比猜想成立,自此名动世界。

  这一成果让他在1982年成为数学界最高奖菲尔兹奖首位华人得主。

  也正是卡拉比猜想的证明,带来了“超弦理论的基石”——卡拉比-丘流形。

  具体而言,丘成桐在证明猜想的过程中,构建出了不带物质的凯勒流形。也就是卡拉比-丘流形(又称卡拉比-丘空间)。

  

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  △卡拉比-丘流形的3维投影

  1984年,丘成桐接到了物理学家加里·霍洛维茨(Gary Horowitz)和安迪·斯特鲁明格(Andy Strominger)的电话。

  他们两人都是弦论的支持者。这里所说的弦论指的是“超弦理论”,其基本假设包括,所有基本粒子都是由不断振动的弦线组成,时空具有超对称性,并且是十维的。

  他们告诉丘成桐,他们正在研究三维空间和时间之外,弦论中另外六个维度存在的形式。

  具体而言,他们需要找到一种具有超对称性的流形,并且根据弦理论,这个流形不带任何物质分布,是真空的。

  丘成桐回复说:

  这些流形(卡拉比-丘流形)在维数等于6时,确实能满足弦理论的要求。

  次年,霍洛维茨、斯特鲁明格,以及另外两位物理学家坎德拉斯(Philip Candelas)和威滕(Edward Witten)合作发表了论文《超弦的真空结构》。

  

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  这篇文章指出,多出来的六个维度,必须隐藏于卡拉比-丘流形之中。此六维独立于四维时空的每一个点。

  更重要的是,如丘成桐本人所说:

  (弦论)进一步指出卡拉比-丘空间的几何,决定了这个宇宙的性质和物理定律。

  哪种粒子能够存在,质量是多少,它们如何相互作用,甚至自然界的一些常数,都取决于卡拉比-丘空间。

  物理学家布莱恩·格林(Brian Greene)也说:

  宇宙的密码,也许就刻在卡拉比-丘空间的几何之中。

  最初打算找到卡拉比猜想的反例

  鲜为人知的是,丘成桐最初了解到卡拉比猜想时,是想证明其所描述的空间并不存在。

  理由很简单:

  这个猜想不仅指出封闭而具有重力的真空的存在性,还给出系统地大量构造这类空间的途径,大家都认为世间哪有这样便宜的东西可捡!

  当时,不少几何学家都在质疑卡拉比猜想的,不过还没有人能给出反例。

  根据猜想定义,一个第一陈类为0的紧致n维凯勒流形上应该有一个里奇平坦的度量。

  只要找出一个这样的流形上,不存在里奇平坦度量,猜想即可被推翻。

  丘成桐花了差不多3年时间,来找寻这种反例。

  1973年,他终于得出了成果,并在出席国际几何会议期间,将此消息告诉了几位朋友。

  消息一下子传了开来,引发圈内震动,以至于他被要求在当天晚上对自己的成果另作报告。

  丘成桐回忆,那晚有三十多位几何学家聚在数学大楼的三楼,其中包括卡拉比、陈省身和其他知名学者。

  他把自己如何构造出这一反例说了一遍,大家似乎都非常满意,卡拉比本人甚至还为这一构造给出了一个解释。

  陈省身则在大会闭幕时拉着丘成桐说,这个反例或许可被视为整个大会最好的成果。

  要知道,卡拉比猜想中涉及到的“陈类”概念,便是因陈省身而得名。

  丘成桐描述自己当时的心情:“既意外,又感到兴奋不已。”

  但反转却来得很快。

  仅仅过去两个月后,卡拉比致信丘成桐,希望他能为自己解释反例中一些没有弄清楚的问题。

  看到这封信,丘成桐马上明白,自己出错了。

  在他的自述中提到,自此之后两个星期,他不眠不休,希望能重新构造一个反例。

  身心差不多要垮掉。

  可是真理总爱捉弄人,每当他似乎找到一个理想中的反例时,总是瞬间有推翻它的理由出现。

  如此经历数次后,丘成桐选择180度调转研究方向,开始证明卡拉比猜想。

  终于在1976年,卡拉比-丘空间和世人见面,轰动数学界,并为之后超弦理论的物理应用、“超弦热”奠定了数学基础。

  而顺着这条研究路线,丘成桐之后还进一步论证了镜像对称猜想。

  镜对称是指两个具有不同拓扑的卡拉比-丘空间,看起来甚至没什么共通点,但却拥有相同的物理定律。

  最初是物理学家菲利普·坎德拉斯等人发现了这一问题,并从物理角度证明镜像对称可用于计算卡拉比-丘空间上有理曲线的数目。

  丘成桐形容,镜对称是对偶性的一个重要例子。

  它就像一面窗,让我们窥见卡拉比-丘流形的隐秘。

  实际上,很多在卡拉比-丘空间上要解决的难题,如果放到镜像上考虑,问题往往迎刃而解。

  1996年,丘成桐和前文提到的斯特鲁明格,以及埃里克·扎斯洛(Eric Zaslow)共同提出SYZ猜想,这是理解镜对称猜想的一次尝试。

  SYZ猜想提出,六维卡拉比-丘空间本质上可以分成两个三维空间,其中之一是三维环面。如果模仿把半径 r 变成 1/r 的操作,把这些三维环面“翻转”,并与另一个三维空间结合起来,就会得到原卡拉比-丘空间的镜伴。

  紧接着1997年,丘成桐和连文豪、刘克峰合作(与Givental同时),用局部化技巧完全证明关于卡拉比-丘空间上有理曲线计数的镜猜想。

  值得一提的是,其中连文豪是美国布兰迪斯大学教授,于2013年获陈省身奖。

  刘克峰曾于1998年获得斯隆奖。

  正是他与丘成桐一起,发起创建了丘成桐数学英才班、创办丘成桐中学数学论文奖和丘成桐大学生数学竞赛。

  他现任美国加州大学洛杉矶分校数学系教授、浙江大学数学中心执行主任。

  One More Thing

  在丘成桐的自传中曾提到,由于卡拉比-丘空间流传甚广,甚至他自己有时都会产生错觉:

  卡拉比是否也是我的名字?

  的确,从坎德拉斯等人在30年前将卡拉比-丘连接起来后,这个组合词的意义有时已经超出了数学物理范围。

  比如伍迪·艾伦2003年在《纽约客》上发表的故事,里面提到一位女士的微笑,“向上弯成卡拉比-丘的形状”。

  对此,丘成桐并不介意“卡拉比”是否会被混淆为他的名字。他觉得,很荣幸能和卡拉比一起并称。

  而另一位主人公卡拉比也曾说道:

  我很高兴我的名字和丘永远连在一起。


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标签: 数学 华人 宇宙

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